正交矩陣（正交矩陣的性質）
本文目錄
- 何謂正交矩陣？它有哪些性質？
- 正交矩陣的？
- 兩列什么叫正交矩陣？
- 一個正交矩陣是什么意思？
- 怎樣求一個矩陣的正交陣？
- 正交矩陣的性質有哪些？
何謂正交矩陣？它有哪些性質？
假如：AA'=E（E為單位矩陣，A'表示“矩陣A的轉置”。）則n階實矩陣A稱為正交矩陣性質：
1. 方陣A正交的充要條件是A的行（列) 向量組是單位正交向量組；
2. 方陣A正交的充要條件是A的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基；
3. A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4. A的列向量組也是正交單位向量組。
正交矩陣的？
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規矩陣。盡管我們在這里只考慮實數矩陣，但這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣究竟是從內積自然引出的，所以對于復數的矩陣這導致了回一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。
實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣
兩列什么叫正交矩陣？
正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。
行向量皆為正交的單位向量，任意兩行正交就是兩行點乘結果為0，而由于是單位向量，所以任意行點乘自己結果為1。
對于3x3正交矩陣，每行是一個3維向量，兩個3維向量正交的幾何意義就是這兩個向量相互垂直。
所以3x3正交矩陣的三行可以理解為一個3D坐標系里的三個坐標軸，下面是3＊3正交矩陣M，
x1，x2，x3，／／x軸y1，y2，y3，／／y軸z1，z2，z3，／／z軸
單位矩陣表示的三個坐標軸就是笛卡爾坐標系里的x，y，z軸：
1，0，0，／／x軸0，1，0，／／y軸0，0，空運報價海運價格，1，／／z軸
一個向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義就是把這個向量從當前坐標系變換到這個矩陣所表示的坐標系里，比如下面的矩陣M1，
0，1，0，1，0，0，0，0，1，
一個向量（1，2，3）右乘這個矩陣M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量從原坐標系變換到一個新的坐標系。
新坐標系的x軸在原坐標系里是（0，1，0），即落在原坐標系的y軸上，
新坐標系就是把原坐標系的x和y軸對調，所以這個正交矩陣M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量對調了。
正交矩陣的定義“行向量和列向量皆為正交的單位向量”帶來了另一個好處：正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。
一個正交矩陣是什么意思？
一個正交矩陣是指其轉置即是逆的矩陣，假設A是一個n階方陣，Aт是A的轉置，假如有AтA=E（單位矩陣），則稱A是正交矩陣。
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規矩陣。正交矩陣不一定是實矩陣，實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣
怎樣求一個矩陣的正交陣？
1、具體定義自己看書，我們直接上手題目：設對稱矩陣 |4 2 2 | A=|2 4 2 | |2 2 4 |求一個正交矩陣B，國際貨運空運價格，使B^TAB為對角矩陣，并寫出該矩陣。我們碰到這題目應該想到先求A的特征根，如下圖所示
2、這里常用的矩陣求法為1)這種3x3的矩陣可以按縱（橫）列利用代數余子式展開直接求解，即
3、通過化為上三角或下三角（對于該題并不適用，過程太過繁瑣）
4、由前面我們求得特征根的值為2和8（兩個值重疊了，即2，2，8）所以我們可得下圖
5、現在我們對每個特征根帶進原式求基礎解系具體來說就是原來的式子|進E-A|中的進應該被我們解出來的2，2，8重新帶進1）把進=2帶進可得（2E-A）X = 0即如下圖所示
6、我們開始解這個其次方程了，我們得到的式子為-2x1-2x2-2x3=0;把x1當作未知數，x2，x3為參數可得-x1 = x2 + x3;(x2,x3)把他們的取值分別設為（1，0）（0，1）可得x1的值為-1；所以基礎解系為X1（-1，1，0），X2（-1，0，1）65線性方程租的解法(非齊次方程和齊次方程)，將X1，X2正交標準化得到：正交標準話，即單位化，同理得到 進=8 的基礎解系，用解得的單位解組成正交矩陣（留意：應該是縱向組成矩陣）
"正交矩陣的性質有哪些？
假如AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規矩陣。
正交矩陣的性質
1、逆也是正交陣
對于一個正交矩陣來說，它的逆矩陣同樣也是正交矩陣。
2、積也是正交陣
假如兩個矩陣均為正交矩陣，那么它們的乘積也是正交矩陣。
3、行列式的值為正1或負1
任何正交矩陣的行列式是+1或1對于置換矩陣，行列式是+1還是1匹配置換是偶還是奇的標志，行列式是行的交替函數。
4、在復數上可以對角化
比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在復數上可對角化來展示特征值的完全的集合，它們全都必須有(復數)盡對值1。
